第05讲：数列极限的概念与基本性质内容小结、课件与典型例题与练习

一、常用的与数列相关的公式

1、先求和再求极限

（1）自然数求和公式：

（2）自然数平方求和公式：

（3）自然数立方求和公式：

（4）等差数列 前项求和公式：

（5）等比数列 前项求和公式：

（6）二项式展开公式：

其中为二项式系数，也记作.

2、拆项相消法

3、基本不等式结论

(1) 几何-算术平均值不等式

设是个非负实数, 则

且等号成立当且仅当.

(2) 三角不等式

(3) 柯西不等式

对任意实数和，都有

等号成立当且仅当或存在常数，使得.

(4) 两个与对数、自然常数、阶乘相关的不等式

4、常用数列极限结论

二、数列极限定义的等价描述形式 

定义1： ⇔ ，，当时，恒有成立.

定义2： ⇔ ，，，成立.

定义3： ⇔ ，，，成立 .

定义4： ⇔ ，，，成立，其中是一个与和都无关的正的常数.

【注】以上定价描述只要能推得其中一个即得另外其他描述，也即说明数列极限存在且等于取定的常数值. 其中的可以改成，此时应保证所取的为正整数. 

三、关于数列极限定义的有关注意事项

【注1】：只要四个定义右边的任意一种描述成立，就可以直接得到数列收敛的结论成立；同样，如果数列收敛于，则可以写出右边四种等价描述形式，针对不同的问题，选用不同的描述形式帮助求解或验证问题.

【注2】：由于定义中的是用来度量数列与极限值的逼近程度的，所以可小不可大，对于它的取法，在使用定义证明极限时，可以假定其小于某个正数，比如小于1内取值；对于可大不可小，取法不唯一. 如果满足条件，则（为任意正整数）都可以取为定义中的值. 因此，的取值与有关，但并不是的函数.

【注3】：特别注意，在没有特别说明的情况下，关于求极限，约定成俗，都是指的是求数列的极限. 即默认情况下，都是指非负整数. 

四、利用极限定义证明的步骤与方法

用数列极限定义证明数列收敛于的：

关键：对于任取的，找到一个符合定义中的；

方法：适当放大不等式；

基本步骤：一般概括为如下四步：

第一步：任取，可以根据后面不等式放大的需要假设它小于某个正的定值.

第二步：借助适当放大法放大、简化为. 其中放大的方法主要基于题设从原绝对值里面的式子出发，当然也可以借助于一些基本不等式来进行放大，目标都是尽可能通过放大简化绝对值里面的关系式，使得第三步求解不等式时变得非常简单.

第三步：解关于变量的不等式，得. 如果不能得到这样的结果，则需要重新改写原绝对值不等式，或证明极限不为取定的常数.

第四步：取或(保证为正值)描述结论：即任取，取，则当时，有恒成立，所以数列收敛于.

【注】：在放大不等式的过程中，可能也对的取值有一定的限制，比如必须大于时放大不等式才成立. 这个时候，最后的应该取为.

有关于数列极限相关问题的注意事项也可以参见推文：

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参考课件

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